Непрерывность показательной функции

$$\forall{q \in \mathbb{Q} \cap (0,1]}~~ a^{q} - 1 < 2(a-1)q$$

**Случай 1.** $q = \dfrac{1}{n}, n \in \mathbb{N}$ Тогда: $$a = (a^{1/n})^{n} = ((a^{1/n} - 1) + 1)^{n} \overbrace{ \geq }^{ \Delta } 1 + (a^{1/n} - 1)n \implies$$ $$\implies a^{1/n} - 1 \leq \dfrac{a-1}{n} = (a-1) \cdot \dfrac{1}{n} = (a-1)q < 2(a-1)q$$ $\Delta$ - по неравенству Бернулли: $(1+x)^{n} \geq 1 + nx,~~ n \in \mathbb{N}$ **Случай 2**. $q \in (0, 1) \cap \mathbb{Q} \setminus \left\{ \dfrac{1}{n} \right\}$ По принципу Архимеда: $\exists{n}~~ \dfrac{1}{n+1} < q < \dfrac{1}{n}$, а значит: $$a^{q} - 1 < a^{1/n} - 1 < \dfrac{a-1}{n} = \dfrac{a-1}{n} \cdot \dfrac{n+1}{n+1} \leq ^{*} 2(a-1)\dfrac{1}{n+1} < 2(a-1)q ~~~~\square$$ $*$: $\dfrac{n + 1}{n} \leq 2$

$a^{x}$ - непрерывна, то есть: $$\forall{\varepsilon > 0}~~ \exists{\delta(\varepsilon)}~~ \forall{x}\mathpunct{:}~~ |x-x_{0}| < \delta \Rightarrow |a^{x} - a^{x_{0}}| < \varepsilon$$

Рассмотрим $u < v$ такие, что $v - u < \dfrac{1}{2}$ По принципу Архимеда: $$\exists{p, q \in \mathbb{Q}}\mathpunct{:}~ \begin{cases} p < u < v < q \\ q - p < 2(v - u) < 1 \end{cases}$$ То есть $p$ и $q$ находятся от $u$ и $v$ на расстоянии меньшем, чем половина расстояния между $u$ и $v$. Тогда: $$a^{v}-a^{u} \leq a^{q} - a^{p} = a^{p}(a^{q-p} - 1) \underbrace{ < }_{ \Delta } 2a^{p}(a-1)(q-p) < 2a^{u}(a-1)2(v-u) = 4a^{u}(a-1)(v-u)$$ $\Delta$: из неравенства Бернулли Возьмём $\delta = \dfrac{\varepsilon}{4a^{x_{0}}(a-1)}$, тогда: $$|a^{x} - a^{x_{0}}| \leq 4a^{\min\{x,x_{0}\}}(a-1)|x-x_{0}| < \dfrac{4a^{\min\{x,x_{0}\}} (a-1) \varepsilon}{4a^{x_{0}}(a-1)} = \varepsilon \cdot \dfrac{a^{\min\{x,x_{0}\}}}{a^{x_{0}}} < \varepsilon ~~~\square$$